기하학적 벡터
2차원, 3차원 공간에서의 벡터를 화살표로 표시한다. 화살표 방향이 벡터의 방향을, 화살표의 길이가 벡터의 크기를 나타낸다. 화살표의 시작 부분을 벡터의 시점, 끝 부분을 벡터의 종점이라 한다.
여기서는 굵은 글씨고 벡터를, 소문자 이탤릭체로 스칼라를 나타낸다
v가 A를 시점, B를 종점으로 하는 벡터이면 다음과 같이 표시할 수 있다.
길이와 방향이 같은 벡터를 서로 동등하다고 한다. 시점과 종점이 같은 벡터의 길이는 0이므로 영벡터 라고 하고 0으로 표시한다.
벡터 덧셈
벡터 덧셈을 위한 평행 사변형 규칙: v와w가 같은 시점을 갖는 2차원 또는 3차원 벡터일 때, 두 벡터는 평행 사변형의 인접하는 두 변을 형성하고, 두 벡터는 평행 사변형의 인접하는 두 변을 현성하고, 합 v+w는 v와 w는 공동 시점으로 부터 반대편에 있는 평행사변형의 꼭짓점까지의 화살표로 나타낸다.
벡터 덧셈을 위한 삼각형 규칙: v와 w가 2차원 또는 3차원 벡터로서 v의 종점이 w의 시점이라면, 합 v+w는 v의 시점에서 w의 종점까지의 화살표로 나타낸다
벡터 뺄셈
벡터 뺄셈: 벡터 v의 음벡터인 -v는 v와 길이는 같지만 방향이 반대인 벡터이고, 차벡터 w-v는 합 w-v=w+(-v)이다
스칼라 곱셈
v가 영이 아닌 2차원 또는 3차원 벡터이고 k가 영이 아닌 스칼라이면, 스칼라 곱 kv는 길이 v의 |k|배이다. k가 양수이면 v와 같은 방향, 음수이면 반대방향인 벡터로 정의한다. k=0또는 v=0이면 kv를 0으로 정의한다.
평행벡터와 동일 직선상에 있는 벡터
벡터에서는 평행과 동일직선상 이라는 용어가 같은 의미이다. 영벡터는 방향이 명확하지는 않지만 모든 벡터에 대해 평행한다.
셋이상 벡터들의 합
벡터는 다음과 같은 결합법칙을 허용한다
u + (v + w) = (u + v) + w
벡터를 만드는 가장 간단한 방식은 종점에서 시점을 잇대러 연속적으로 벡터들을 나열하고 첫 벡터의 시점으로 부터 마지막 젝터의 종점을 잇는 벡터를 그리는 것이다.
좌표계에서의 벡터
원점을 시점으로 하는 벡터는 자신의 종점에 의해 결정되며 이 종점의 돠표을 좌표계와 연관된 성분이라 한다
시점이 원점이 아닌 벡터
벡터의 시점이 P1(x1, y1), 종점이 P2(x2, y2)이면 이 벡터의 성분은 다음과 같다
n-공간
n이 걍의 정수일때, n중 순서쌍은 n개의 실수로 이루어진 (v1, v2,....,vn)이다. 모든 n중 순서쌍들의 집합을 n-공간이라하고 R^n으로 나타낸다.
R^n상의 벡터 u, v, w와 스칼라 k, m에 대해 다음 성질들이 성립한다.
v가 R^n상의 벡터이고 k가 스칼라이면
일차결합
R^n의 벡터 w가 임의의 스칼라 k1, k2,...,kn에 대해서
w = k1v1 + k2v2 + ..... + krvr
의 형태로 쓰여지면, w를 v1, v2, ..., vr의 일차결합이라 한다. 이때 스칼라들을 일차결합의 계수라 한다. r=1인 경우 위 식은 w=k1v1이 되므로 벡터의 스칼라 배수임을 알 수 있다 .
R^n벡터는 행행렬 또는 열행렬의 형태로도 표기할 수 있다.